本项目属于基础数学与应用数学领域内分形分析方面由问题驱动的研究。主要致力于自仿测度的谱与非谱性质以及谱结构的研究，为分形上建立Fourier分析理论奠定了基础。

本课题起源于一阶偏微分算子的延拓问题或可积性问题(1958年I.E.Segal提出的一个问题)，它与B.Fuglede 1974年提出的谱集猜想（涉及谱与Tilings的关系问题）密切相关。不少数学家如P.E.T.Jorgensen、J.C.Lagarias、A.Iosevich、N.Katz、Y.Wang、T.Tao等在谱集猜想方面做出了重要贡献。1998年P.E.T.Jorgensen和S.Pedersen首次构造出具有奇异性且Hausdorff维数为1/2的谱测度，使得上述问题的研究从Fourier基的角度出发变成了现实。

我们从谱与Tilings的关系问题开始研究，主要成果有

（1）率先在国内开展谱与Tilings关系的研究,并建立了谱与Tilings的一个对偶关系。这是Lebesgue测度下所涉及的内容，以 B.Fuglede 提出的谱集猜测为基础，寻找谱与Tilings的关系。我们刻画了谱与Tilings的特征性质，证明了J.C.Lagarias,J.A.Reeds与Y.Wang 提出的谱集共轭猜测与弱谱集猜测是等价的，建立了谱与Tilings的一种对偶关系等是这方面研究的亮点，指明了后续研究的方向。

（2）发展了自仿测度谱性质的理论基础，并首次将单位根之和为零的代数结构引入到谱问题的研究中去获得突破。这是分形测度下所涉及的内容，以谱集过渡到谱测度为基础开展的探索。在涉及到分形谱测度的初期，仅有学者P.E.T.Jorgensen和S.Pedersen(1998年)、R.Strichartz(1998和2000年)以及I.Laba和Y.Wang（2002年）的工作。我们从2001年至2004年对相关问题进行了比较系统的研究，完成了比较详实的综合报告，并将相关的分析与几何问题代数化,取得了许多深刻的结果,引发了国内外学者对这一领域的进一步研究。

（3）以典型分形上自仿测度的相关问题为基础开展了一系列富有成效的工作，解决了其中的多个问题。典型分形上的分析性质如谱结构的形式以及谱自仿测度产生的条件等的研究具有重要的引导作用，它涉及到由无穷乘积定义的函数的分析性质和其零点的代数结构。在2004年以后，D.E.Dutkay的加入和P.E.T.Jorgensen的回归，使得分形谱测度的研究更上一个台阶。我们在此方面解决了D.E.Dutkay和P.E.T.Jorgensen提出的多个公开问题，如和谐对与谱自仿测度的等价性问题、和谐对下的谱对偶性关系的猜想等，明确了和谐对仅在整数情形下的作用。随后，2006年R.Strichartz的工作、2008年T.Hu和K.Lau的工作、D.Han、Q.Sun、E.Weber的相关工作以及2010年以后众多学者的加入，使得我们的工作受到不少人的关注。

(4)在相关问题的应用方面，注重理论与实际的联系。本项目在从事由迭代函数系统产生的自仿测度谱理论研究的同时，证明了由迭代理论求解非线性方程的Adomian分解法与同伦扰动法之间的等价性，受到了工程技术界的好评。此代表作被美国《数学评论》评价为"This is very important for the further applications of the two methods"。

本项目历时近20年，主要受到教育部科学技术研究重点项目和国家自然科学基金面上项目的持续资助。项目获得的成果均以论文形式发表,主要发表的杂志有《Journal of Functional Analysis 》（6 篇）、《中国科学数学中英文版 》（8 篇）、《数学学报中英文版 》（7 篇）、《Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society》（3 篇）、 《Mathematische Nachrichten 》（5 篇）、《Monatshefte Fur Mathematik》（3 篇）、《Studia Mathematica》（2 篇）、《Journal of Mathematical Analysis and Applications》（10篇）等, 取得的成果在国际上有较大的影响，特别是在自仿测度谱理论的建立方面有突破性进展,得到国内外学术界的公认。主要表现在以下几个方面:（1）代表作等文章在国际数学专业期刊《Advances in Mathematics》上被引用十余次;(2) 在美国数学评论上，88 篇论文+博士论文被 157 位作者引用了 368+16 次;(3）至少有6篇不同的文章被专业书籍引用（仅限于查阅的部分文献）;(4)中国数学会学术年会是中国数学家规模最大、规格最高的学术盛会，尤其是两年一次的颁奖会议，聚集了许多国内数学界的名人。2013 年在太原市召开的年会，除了颁奖以外，会议报告也是最受欢迎的。开幕式当天下午，在分析数学组所做的报告全面介绍了本项目的最新成果，受到了参会者的好评。

尽管如此，本课题还存在缺陷，主要是整数情形研究的较多，实数情形研究的较少。我们的方法仅能将部分整数情形下的结果推广到实数情形。其次，谱测度下函数表示式（或展开式）是一个多重模拟Fourier级数，这个级数的敛散性问题是一个重要的问题，直接关系到所建立理论的应用问题。这一方面本课题还没有涉及，也是今后努力的主要方向。