偏微分方程是指包含未知函数的偏导数(或偏微分)的方程，在自然科学和工程技术等领域具有非常重要的科学价值。作为当前的研究热点，偏微分方程在等离子体物理中的应用已经引起人们的广泛关注，这是因为等离子体中复杂的非线性物理过程可以通过偏微分方程进行描述。为了准确地认知这些非线性物理过程，如何对偏微分方程进行数值求解并开展相应的数值模拟工作便成为一个亟待解决的问题。

    本项目采用有限元方法、有限体积元方法、变分多尺度方法、谱方法以及变分迭代法，对非线性发展方程设计出高效的数值求解格式，建立了数值模拟求解的计算方法，并将其应用到等离子体物理的研究。本项目共发表SCI 论文40余篇，部分论文发表在计算数学和等离子体物理学的顶级期刊J. Comput. Phys.、Comput. Phys. Commun.、Ann. Phys、Plasma Sources Sci. Technol.、Plasma Phys. Control. Fusion 上，SCI 他引总次数为315 次，单篇SCI 他引最高次数为106 次，另有1 篇主要论著为ESI 高被引论文。已完成国家自然科学基金面上项目两项、国家自然科学基金青年项目一项、中国博士后科学基金面上项目一等资助一项；在研中国博士后科学基金面上项目一等资助一项、陕西省博士后科学基金面上项目一等资助一项。

本项目的发现点如下：

    发现点1.建立了数值求解正则长波方程、非线性薛定谔方程、耦合非线性薛定谔方程组、Davey-Stewartson 方程组的有限元方法，证明了数值格式的稳定性和收敛性，并对等离子体中孤立子的非线性动力学行为、Bose-Einstein 凝聚过程进行了模拟。相关研究工作被他人在Phys. Rev. E、Comput. Phys. Commun.等国际知名SCI 期刊上多次引用。

发现点2.研究了等离子体物理学中分数阶非线性发展方程在的数值求解，通过变分迭代法构造了时间分数阶Schamel-KdV 方程、时间分数阶 Gardner 方程、时间分数阶Klein–Gordon 型方程、时间分数阶Boussinesq 型方程的渐进级数解，对压缩型和稀疏型近似孤立子的非线性动力学行为开展数值模拟。相关研究工作被他人在Phys. Rev. E、J.Comput. Phys.、PLOS ONE 等国际知名SCI 期刊上多次引用。

    发现点3.针对等离子体流动中的Navier-Stokes 方程，建立了求解该方程的时间步进法有限元数值格式、混合有限元方法、两水平多尺度有限元方法，给出了数值格式的无条件稳定性和收敛性分析，并对等离子体中的Rayleigh-Taylor 不稳定性等物理过程开展数值模拟工作。相关研究工作被他人在J. Comput. Phys.、PLOS ONE、Comput. Methods Appl. Mech. Engrg.等国际知名SCI 期刊上多次引用。

    发现点4.研究了等离子体中的调制不稳定性和非线性波动现象，通过相似变换法构造了(3+1)维非线性Schrodinger 方程的线形怪波解，分析了三维线形怪波在等离子体中的传播、演化过程；针对带有耗散项的(1+1)维非线性Schrodinger 方程，构造了该方程的近似耗散怪波解；构造了等离子体物理中耦合系统的激波解。相关研究工作被他人在Phys. Rev.E、Nonlinear Dyn.、Phys. Plasmas 等国际知名SCI 期刊上多次引用。