本项目历时十余年，对数学物理中非线性椭圆与抛物方程奇异解、梯度爆破解和全局解的渐近性态及稳定性进行了系统地研究。该问题分别源自天体物理学中星球运动模型，物理力学中矿藏的表面增长、蒸汽沉积和金属薄膜成形，以及生物种群与肿瘤生长的自由边界问题。主要围绕数学理论上的若干难点问题开展理论分析，研究了奇异解和梯度爆破解精确的渐近性态，研究了全局快解与慢解、最大模爆破解和梯度爆破解的完整分类，研究了自由边界问题解的分歧及全局解的大时间性态，深入地探讨了算子、非线性梯度项、自由边界以及初值，对解的渐近性态的影响。项目研究具有较高的数学理论价值，相关课题的研究也是目前反应扩散或非线性发展方程研究领域中前沿和热门的研究课题，项目取得了一系列深刻的研究成果，形成了一套较为系统和有效的理论与方法，促进了偏微分方程基础理论新的发展。

       主要的研究成果有：（1）利用渐近展开方法和逐步精确的迭代技术，得到了Matukuma方程高维径向奇异正解精确的正则和奇异分解渐近展开式，为全空间及外区域上正则与奇异解的存在性与不存在性提供了清晰的理论依据。（2）通过不动点定理和新的比较原理，建立了Chipot-Weissler方程自由边界问题的局部适定性，对有限时间爆破解、全局快解和慢解进行了完整地分类。这是一类带非线性梯度项的KPZ型抛物方程，特别地，2014年菲尔兹奖获得者Martin Hairer，在随机偏微分方程理论方面作出了杰出贡献，对KPZ建立了一套正则性结构理论，主要成果相继发表在纯数学四大期刊的Annals Math（2013）和Invention   Math（2014）。不仅开启了许多新的纯数学方向，也对科学和工程中的应用有重大意义，从而使得对该方程的研究变得更加重要。我们还得到了梯度退化和指数情形精确的梯度爆破率估计，完善了关于非自相似梯度爆破率近20年的Open问题。（3）退化抛物方程的正则化方法与解的正则性研究。通过正则化逼近、尺度变换和改进的Moser迭代技巧，证明了一类系数不光滑的信用迁移自由边值问题光滑解的一致高阶导数估计，从而利用更高阶正则性得到了有限差分格式的更优收敛率。通过正则化方法和闸函数技巧，建立了带非线性梯度项的退化抛物p-Laplace方程弱解的局部适定性并得到了边界附近的Bernstein型一致梯度估计，对有界全局解、最大模爆破和梯度爆破解进行了完整地分类。此外，利用相交比较原理，首次证明了此类退化方程径向整体解的一个最优的Liouville定理，成功地把上个世纪90年代的Fujita指标结果推广到Sobolev指标，继而利用新的Doubling方法（完全避免传统的能量积分方法），得到了解关于先验界、时间衰减和爆破率的一致估计，并证明了自相似爆破关于径向初值扰动的稳定性。（4）肿瘤生长的自由边界问题解的分歧及全局解的稳定性分析。首次在Robin边值条件下，分析了一类肿瘤生长的Stefan自由边界问题径向对称稳态解关于肿瘤细胞繁殖率参数序列的分歧结果。继续深入研究，我们找到一个临界参数证明了径向稳态解的线性稳定性与不稳定性，以及周期情况的大时间线性稳定性。最近，我们利用渐近展开方法和球面调和函数的性质进一步得到了径向稳态解关于非径向扰动的渐近稳定性。另外，还研究了带时滞外力的非自治非局部抛物方程，利用Galerkin方法和能量估计分析了问题的适定性；然后，通过构造适当的Lyapunov泛函深入分析了稳态解的大时间稳定性与吸引性。

        项目成果在国际知名期刊发表论文44篇，其中SCI收录40篇；5篇代表作在Web of   Science中受到美国、英国、法国等多个国家和地区的150余名学者的关注与引用，包括Trans AMS, JMPA, Math Ann, CVPDE, JDE, Nonlinearity, Nonlinear Anal等具有国际影响力的期刊。培养5名博士生和9名硕士生毕业。