本研究成果主要是通过完成两项国家自然科学基金项目（11201038，11202035），两项陕西省自然科学基金项目（2011JQ1004，2014JQ1018）和长安大学中央高校基本科研业务费专项资金项目（CHD2009JC050）获得的。

    非线性时滞脉冲微分方程，因其能够更准确地描述来自生物生态学、人工智能和传染病等领域中的实际问题，在近些年受到了广泛地关注。一方面，微分方程的适定性（即，解的存在唯一性）是研究微分方程的一个重要前提。线性算子半群是刻画线性微分方程的适定性的有效工具，这方面的研究相对成熟和完善。然而，非线性问题的复杂性和特殊性导致非线性算子半群的理论还十分不完善，因此，利用非线性算子半群的生成性刻画非线性微分方程的适定性在理论上是一件困难的事情，目前仅有少数学者针对半线性微分方程的适定性给出了非线性半群生成性刻画，研究进展非常缓慢。另一方面，关于微分方程的渐近性行为研究对于非线性微分方程而言同样是基础而重要的。现有的方法大都是采用经典的Lyapunov方法。然而，Lyapunov方法也有自己的缺陷，譬如，Lyapunov函数的构造需要经验和技巧，不能定量地给出解的收敛速率等。因此，丰富和完善非线性算子半群理论和探讨新的方法，分别刻画非线性微分方程的适定性，定性定量地研究其解的渐近性行为是亟待解决的科学问题。

    随着网络结构问题的深入研究，动力学网络的同步问题已成为动力学领域研究的重要课题之一。现有的控制方法只适用于节点系统结构已知，且不存在参数差别的网络系统。另外，噪声在完全同步中作用的研究主要集中在加性噪声的情况，并且方法以数值和实验为主。关于乘性噪声在完全同步中作用的研究较少，且集中在两个简单耦合的非线性系统。因此，关于节点系统结构未知且存在参数差别的网络系统的同步控制方法以及乘性噪声在多个节点构成的具有复杂结构的动力学网络同步中的作用需进一步研究。

    因此，关于非线性常微分方程的适定性和渐近性及其在人工神经网络和流行病领域的应用研究和具有复杂结构动力学网络的同步控制的研究具有重要的理论价值和现实意义。本研究的创新点如下：

（1） 非线性时滞脉冲微分方程的适定性研究

    证明了非线性时滞脉冲微分方程的适定性等价于某个乘积空间上非线性算子半群的生成性，把线性算子半群对线性抽象Cauchy问题适定性刻画研究成果推广到非线性情形，完善了非线性算子半群理论。

（2） 非线性微分方程的稳定性及其在人工神经网络中的应用研究

    （i）在非线性半群的框架下证明了半线性抽象Cauchy问题的指数稳定性与更弱的Lp稳定性等价性条件，非线性推广了相关线性研究成果，完善了微分方程的稳定性理论。

    （ii）采用非线性测度及其推广的方法，给出了带有不同系数算子时滞脉冲微分方程新的指数稳定性判别条件，并给出了解的衰减速率。和传统的Lyapunov方法比，我们的刻画不仅是定性而且是定量的，为微分方程稳定性判别引入了全新的方法。并把获得的研究成果应用于不同类型人工神经网络稳定性研究，推广和改进了现有的部分研究成果。

（3） 非线性微分方程的稳定性理论在传染病领域中的应用研究

    （i）从理论上获得了新疆地区HBV传染病动力学模型基本再生数的计算公式，从动力学角度给出了控制新疆地区HBV的最重要措施为新生儿的预防接种的重要研究结果。

    （ii）建立了云南艾HIV/AIDS传染病动力学模型，获得了云南省HIV/AIDS基本再生数，研究结果表明云南省未来HIV/AIDS传播模式将以性乱为主，特别是男男性行为人群中的阳性率水平上升较快，这也是今后云南控制HIV/AIDS的重点人群。

    （iii）对一般的非自治SIRS和SIRVS传染病微分方程模型使用非标准离散化方法，分别获得了疾病持久性的充要条件，疾病灭绝性以及系统的最终有界性、全局吸引性的一般判别准则，以及相应周期或概周期系统基本再生数的确切表达式。

    （iv）获得了具有潜伏期和不连续治疗策略的SEIR传染病模型无病平衡点和地方病平衡点局部和全局稳定性的判别准则，给出了疾病在有限时间的灭绝条件。

（4）非线性微分方程的稳定性理论在复杂动力学网络完全同步中的应用研究

    （i）提出了以网络节点输出的加权平均为控制目标轨道的动力学网络完全同步控制方案，解决了节点系统结构未知网络完全同步控制问题，基于稳定性理论给出此类控制方法稳定性的分析方法。

    （ii）基于随机微分方程稳定性理论，提出了乘性噪声在动力学网络完全同步中作用的新理论方法。

    该项目属于基础理论研究，获得的研究成果已经在SCI检索期刊上发表学术论文15篇，其中，1篇论文入选ESI高被引和热点论文排行榜，1篇论文被引用达31次，2篇论文分别在陕西省数学会、工业与应用数学会组织的青年优秀论文奖评审中均获得二等奖。另外，项目组成员宋学力荣获2014年陕西省青年科技新星称号。